今年中か来年１月くらいに会社を辞める予定です。

辞めてからしばらくしてから引っ越す予定です。

一応、すぐ仕事は探す予定ですがすぐ見つかるかどうか分かりません。。。

失業保険の手続きはしたほうがいいでしょうか？？

その場合引っ越した後、ハローワークへの手続きとかはどうなるのでしょう？？

何回かハローワークへ出向かなければならないらしいですがそれは最初に手続きしたところじゃないとダメなのでしょうか？？

失業給付金の受給資格を備えていることを前提に、転居後の住所地を管轄する公共職業安定所で受給手続きをしてください。

祖母の介護のために離職した場合、すぐに失業保険はもらえるのでしょうか？住民票は祖母とは違います。１ヶ月くらい実家に戻り、落ち着いたらまた一人暮らしをしたいので今のアパートはそのままにしたいです。
介護が終わったら、すぐに就職しようと思っていますがこの場合は、どこから保険をもらえばよいのでしょうか？（実家のハローワークか今の住まいの近くのハローワークか）良い方法はありますか？また、介護のためという証拠はどうすればいいのですか？

「給付制限がない」制度はありますが、「すぐにもらえる制度」はありません。

〉常時本人の看護を必要とする親族の疾病、負傷等のために退職を余儀なくされた場合のように、家庭の事情が急変したことによって退職した場合
には、給付不制限がありません。

〉どこから保険をもらえばよいのでしょうか？
……国以外にありませんけど？

ハローワークは住所地の管轄が基本です。

失業保険の特定受給資格で育児に伴う保育所その他これに準ずる施設の利用又は親族等への保育の依頼ため、通勤不可能又は困難となったことにより離職した者についても質問です。
育児でない場合は通勤時間が往復4時間以上になり、通勤するのが困難になった場合らしいのですが保育を依頼することになった親族の家が遠いというのでも認められるのは、親族の家がどのくらい遠かった時のことをさすのでしょうか？

明確な距離や時間の規定はありません
各ハローワークの裁量になりますので、管轄のハローワークに確認、相談されるのが一番確実だと思いますよ？

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